[2015년 백석고]

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[2학년 1학기 중간 미적분1]

[eqn: lim _{n -> INF } {{3} over {sqrt {n ^{2} +3n+2} -n}}]의 값은? [4.3점]

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{{2x ^{2} +ax+1} over {x-1} ``&LEFT ( x != 1 RIGHT )#````````````````````b&LEFT ( x=1 RIGHT )}}]가 모든 실수에서 연속이 되도록 실수 [eqn: a,``b]의 값을 정할 때, [eqn: b-a]의 값은? [4.3점]

⑤

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } :1,```3,```9,```27,``` CDOTS]에 대하여 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {{a _{n}} over {S _{n}}}]의 값은? [4.5점]

③

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: 3]	③ [eqn: {2} over {3} `]

④ [eqn: 3 over 2]	⑤ [eqn: 4over 3]

두 함수 [eqn: f(x)= {cases{x ^{2} +3x+1&(x GEQ 1)#x+2&(x < 1)}}],  [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT | 3x-a RIGHT |]에 대하여 함수 [eqn: y= LEFT ( g CIRC f RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )]가 모든 실수에서 연속일 때, 상수 [eqn: a]의 값은? [4.5점]

④

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

공비가 같은 두 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{1} -b _{1} =1]이고 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} =8], [eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{n} =6]일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} b _{n}]의 값은? [4.5점]

③

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

두 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 일부가 다음 그림과 같고, 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x+4 RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT )]일 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.5점]

①

ㄱ. [eqn: lim _{x-> 0 {+}} {g LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =-2}]

ㄴ. [eqn: lim _{x-> 1} {f LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )} =f LEFT ( g LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT )]

ㄷ. [eqn: lim _{x-> - INF } {sum _{k=1} ^{4}} g LEFT ( f LEFT ( 2k+ {1} over {x} RIGHT ) RIGHT ) =-2]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: lim _{t -> INF } {f LEFT { f LEFT ( {t-1} over {t+1} RIGHT ) RIGHT } + lim _{t-> - INF } {f LEFT { f LEFT ( {4t-1} over {t+1} RIGHT ) RIGHT }}}]의 값은? [4.7점]

②

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

자연수 [eqn: n]에 대하여 두 점 [eqn: {rmP}_n-1], [eqn: {rmP}_n]이 함수 [eqn: y=x ^{2}]의 그래프 위의 한 점일 때, 점 [eqn: {rmP} _{n+1}]을 다음 규칙에 따라 정한다.

삼각형 [eqn: {rmP} _{n-1} {rmP} _{n}{rmP} _{n+1}]의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {S _{n}}]의 값은? [4.7점]

(가) 두 점 [eqn: {rmP_0], [eqn: rmP_1]의 좌표는 각각 [eqn: (0,```0)], [eqn: (1,```1)]이다.

(나) 점 [eqn: {rmP} _{n+1}]은 점 [eqn: {rmP}_n]을 지나고 직선 [eqn: {rmP} _{n-1} {rmP} _{n}]에

수직인 직선과 함수 [eqn: y=x ^{2}]의 그래프의 교점이다.

(단, [eqn: {rmP}_n]과 [eqn: {rmP} _{n+1}]은 서로 다른 점이다.)

②

① [eqn: 1]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: 1over3]

④ [eqn: 1over4]	⑤ [eqn: 1over5]

수열 [eqn: LEFT { a _{ n} RIGHT }]을 다음과 같이 정의한다.

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {a _{n}} over {3 ^{n}} = {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4.7점]

(가) [eqn: a_{ 1}=1]

(나) [eqn: a _{n+1} = LEFT ( a _{n} ^{3} +1을```5로```나눈```나머지 RIGHT ) LEFT ( n=1,```2,```3,``` CDOTS RIGHT )]

선택지 오류? : [eqn: 57over80]

① [eqn: 20]	② [eqn: 33]	③ [eqn: 41]
④ [eqn: 46]	⑤ [eqn: 53]

[그림1]은 길이가 [eqn: 1rmm]인 철근 [eqn: 4]개를 가지고 철근의 끝점과 끝점을 용접하여 만든 조형물이다. [그림2]는 길이가 [eqn: 1rmm]인 철근 [eqn: 16]개를 가지고 철근의 끝점과 끝점을 용접하여 만든 조형물이다.

[그림1]

[그림2]

[그림3]

이와 같이 길이가 [eqn: 1rmm]인 철근의 끝점과 끝점을 용접하여 만든 [eqn: n]번째 조형물에 사용된 [eqn: 1rmm]인 모든 철근의 수를 [eqn: a _{n}], 용접한 모든 지점의 수를 [eqn: b _{n}]이라 하자. 예를 들어, [eqn: a _{2} =16], [eqn: b _{2} =12]이다. [eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} =S _{n}], [eqn: sum _{k=1} ^{n} b _{k} =T _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n-> INF } {{S _{n}} over {T _{n}}}]의 값은? [4.7점]

④

① [eqn: 1over4]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S _{n}]이
[eqn: S _{n} =2n ^{2} +n-1]일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {a _{n} a _{n+1}} = {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값은?
[4.9점]

⑤

① [eqn: 13]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 19]

④ [eqn: 23]	⑤ [eqn: 31]

그림과 같이 [eqn: x]축 위의 점 [eqn: rmA LEFT ( 3,```0 RIGHT )], [eqn: y]축 위의 점 [eqn: rmB LEFT ( 0,```2 RIGHT )]가 있다. 점 [eqn: rmP]는 [eqn: x]축을 따라 점 [eqn: rmA]의 왼쪽에서 점 [eqn: rmA]로, 점 [eqn: rm Q]는 [eqn: y]축을 따라 점 [eqn: rmB]의 위쪽에서 점 [eqn: rmB]로 한없이 가까워진다.

[eqn: bar{rmPQ}]가 [eqn: bar{rm AP it} =2 bar{rmBQ}]를 만족하면서 움직일 때, [eqn: bar{rmAB}], [eqn: bar{rmPQ}]의 교점 [eqn: rmR]이 한없이 가까워지는 점의 좌표는 [eqn: LEFT ( a,```b RIGHT )]이다. 이때 [eqn: a+b]의 값은? [4.9점]

⑤

① [eqn: {13} over {5}]	② [eqn: {14} over {5}]	③ [eqn: {13} over {7}]

④ [eqn: 16over7]	⑤ [eqn: 17over7]

그래프는 두 함수
[eqn: f(x)= {cases{x-2&```(x GEQ 1)#eqalign{-x# 0}&eqalign{```(|x| < 1)# ``` LEFT ( x=-1 RIGHT )}#`x+2&```(x < - 1)}}], [eqn: g(x)= {cases{ LEFT | `x` RIGHT |&```(0< LEFT | `x` RIGHT | < 1)#1&```(x=0,```x=1)#0&```( LEFT | `x` RIGHT | >1,```x=-1)}}]
를 각각 나타낸 것이다.

합성함수 [eqn: y=(g CIRC f)(x)]가 불연속인 [eqn: x]의 값의 개수를 [eqn: a], 불연속인 [eqn: x]의 값들의 합을 [eqn: b]라 할 때, [eqn: a+b]의 값은? [4.9점]

④

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

[eqn: 1]부터 [eqn: 6]까지 적혀 있는 주사위를 두 번 던져서 나온 눈의 수를 차례로 [eqn: a], [eqn: b]라 할　때, [eqn: lim _{n-> INF } {{a ^{n+1} +b ^{n+1}} over {a ^{n} +b ^{n}}}]의 값이 홀수일 확률은? [4.9점]

①

① [eqn: 5over12]	② [eqn: 7over12]	③ [eqn: 4over9]

④ [eqn: 5over9]	⑤ [eqn: 1over3]

다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가
[eqn: lim _{x -> 0+} {{x ^{3} f LEFT ( {1} over {x} RIGHT ) -1} over {x ^{3} +x} =-4,`` lim _{x -> -1} {{f LEFT ( x RIGHT )} over {x ^{2} +4x+3} =6}}]
을 만족시킬 때, [eqn: lim _{x-> {1} over {2}} {{1-2x} over {xf LEFT ( {1} over {x} RIGHT )}}]의 값은? [5.0점]

①

① [eqn: - {1} over {3}]	② [eqn: -`1over6]	③ [eqn: 1over6]

④ [eqn: 1over3]	⑤ [eqn: 1]

최고차항의 계수가 1인 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]와 두 함수
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = lim _{n -> INF } {{2 LEFT | x-b RIGHT | ^{n} +1} over {LEFT | x-b RIGHT | ^{n} +1}}], [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = lim _{n-> INF } {{x ^{2n-1} -1} over {x ^{2n} +1}}]
가 다음 조건을 만족시킨다.

이때, [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT )]의 값은? (단, [eqn: b<0]) [5.0점]

(가) [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =-8]

(나) 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )], [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) h LEFT ( x RIGHT )]가 모든 실수에서

연속이다.

②

① [eqn: -10]	② [eqn: -6]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

서술형

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: lim _{x-> 2} {{f LEFT ( x RIGHT ) -3} over {x ^{2} -4} =1}]일 때, [eqn: lim _{x-> 2} {{x-2} over {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} -9}}]의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (단, 로피탈 정리를 이용하여 값을 구할 경우 0점 처리함.) [6점]

[eqn: 1over24]

두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]이 각각 [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}} = INF], [eqn: lim _{n-> INF } {LEFT ( a _{n} -b _{n} RIGHT )} =5]일 때, [eqn: lim _{n-> INF } {{a _{n} +b _{n}} over {a _{n} -3b _{n}}}]의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. [5점]

[eqn: -1]

그림과 같이 좌표평면 위의 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =r ^{2} LEFT ( r ge0 RIGHT )]과 직선 [eqn: y=ax LEFT ( a > 0 RIGHT )]가 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rmP]라 하자. 점 [eqn: rmP]에서 [eqn: x]축 위에 내린 수선의 발을 점 [eqn: rm Q], 점 [eqn: rmP]에서의 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmR]이라 하자. 점 [eqn: {rmA} LEFT ( r,```0 RIGHT )]에 대하여 다음 물음에 답하시오. [총 7점]

(1) [eqn: sqrt { 2}]

(2) [eqn: 2]

(1) [eqn: lim _{a -> 1 {-}} {{bar{rmPR}} over {bar{rmOQ}}}]의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. [3점]

(2) [eqn: lim _{a -> 0 +} {{a LEFT ( bar{rmPQ} - bar{rmQA} RIGHT )} over {bar{rmAR}}}]의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오.

[4점]

그림과 같이 길이가 [eqn: 2]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 원 [eqn: O]가 있다. 원 [eqn: O]의 중심을 지나고 선분 [eqn: rmAB]와 수직인 직선이 원과 만나는 [eqn: 2]개의 점 중 한 점을 [eqn: rmC]라 하자.
점 [eqn: rmC]를 중심으로 하고 점 [eqn: rmA]와 점 [eqn: rmB]를 지나는 원의 외부와 원 [eqn: O]의 내부의 공통부분인 (초승달문양) 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.
그림 [eqn: R _{1}]에서 색칠된 부분을 포함하지 않은 원 [eqn: O]의 반원의 반지름을 지름으로 하고 반원에 내접하는 원을 그리고, 그린 원에 외접하고 반원에 내접하는 크기가 같은 원 [eqn: 2]개를 그린다. 반원의 반지름을 지름으로 하고 반원에 내접하는 원과 이 원에 외접하고 반원에 내접하는 [eqn: 2]개의 원 안에 그림 [eqn: R _{1}]을 얻는 것과 같은 방법으로 각각 만들어지는 (초승달문양) 모양의 [eqn: 3]개의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2}]라 하자.
그림 [eqn: R _{2}]에서 새로 생긴 [eqn: 3]개의 도형에 색칠된 부분을 포함하지 않은 원의 반원의 반지름을 지름으로 하고, 반원에 내접하는 원을 각각 그리고, 각각 그린 원에 외접하고 각각의 반원에 내접하는 크기가 같은 원 [eqn: 2]개를 각각 그린다. 반원의 반지름을 지름으로 하고 반원에 내접하는 [eqn: 3]개의 원과 이 원에 외접하고 반원에 내접하는 각각의 [eqn: 2]개의 원 안에 그림 [eqn: R _{1}]을 얻는 것과 같은 방법으로 각각 만들어지는 (초승달문양) 모양의 [eqn: 9]개의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{3}]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n-> INF } {S _{n}}]의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. [7점]

[eqn: 8over5]

[2015년 백석고]

[2학년 1학기 중간 미적분1]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com